Анатолий Максимович Чирков родился в селе Яренск Ленинского района Архангельской области. После окончания 7 класса в 1949 г. он поступил в Ленинградский Индустриальный техникум на геофизическое отделение. За время учебы в техникуме участвовал в полевых работах в партии ВЭЗ в Коми АССР (1951 г.) и техником-оператором в Ленинградской партии СВГУ на рекогносцировочной съемке в Якутской АССР (1952 г.).
По окончанию техникума по специальности геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых Анатолий Максимович был командирован в Чехословакию на предприятие п/я 1051, где прошел путь от участкового техника-геофизика до старшего инженера-геофизика рудника (1953-1956 гг.).
В 1956 г. Анатолий Максимович поступил в Ленинградский горный институт на геофизический факультет, а в 1960 г. был зачислен в Камчатскую геолого-геофизическую обсерваторию СО АН СССР на должность старшего научно-технического сотрудника. Одновременно А.М. Чирков продолжил заочно учебу в Ленинградском горном институте, который в 1962 г. успешно окончил по специальности геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых. В 1961 г. Анатолий Максимович был переведен в статус младшего научного сотрудника. С созданием Института вулканологии в 1962 г. работал в составе вулканологической группы, где был начальником геомагнитного отряда. В 1975 г. А.М. Чирков стал старшим научным сотрудником.
В 1962 г. Анатолий Максимович попал под камнепад на Карымском вулкане, получил тяжелую травму ноги и экстренно был доставлен военным вертолетом в г. Петропавловск-Камчатский, где был прооперирован известным в те годы травматологом В.Н. Славнитским. Претерпев не одну операцию, А.М. Чирков продолжал трудиться до конца своей жизни.
Научная деятельность Анатолия Максимовича связана с изучением вулканических процессов в рамках тем: «Состояние действующих вулканов Камчатки и Курильских островов и их извержения» и «Радиометрические исследования на действующих вулканах». Он участвовал в режимных наблюдениях на вулканах Камчатки (Новые Толбачинские вулканы, Ключевской, Безымянный, Карымский) и Курил (Алаид, Пик Фусса). В 1970 г. участвовал в экспедиции по Курильским островам на судне «Амбон». Принимал активное участие в изучении Большого трещинного Толбачинского извержения (1975 г.) будучи начальником экспедиции, извержений вулканов Ключевского (1974, 1978, 1980 гг.), Алаида (1972, 1981 гг.), Карымского (1962, 1981, 1982 гг.), Безымянного (1983-1985 гг.).
Анатолий Максимович изучал распределения радиоактивных элементов – урана и тория и продуктов их распада в породах, водах и газах вулканов с целью выяснения возможности разработки радиоактивного метода прогноза извержений. Работая в Институте вулканологии, он закончил заочную аспирантуру (1964-1970 гг.) под научным руководством д.г-м.н. М.И. Альтгаузена (ВИМС) и в 1973 г. защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата геолого-минералогических наук по теме «Радон как индикатор современных гидротермальных и вулканических процессов». В рамках этой темы А.М. Чирков в период 1984-1988 гг. продолжил совместные исследования с ОИЯИ (г. Дубна) по изучению изменения содержания радона трековыми детекторами.
Анатолий Максимович был романтиком вулканологии и всю свою жизнь посвятил прекрасному делу изучения вулканов, обладал организаторскими способностями, отличался принципиальностью и настойчивостью в работе.